材料力学之圆轴扭转时的应力
2021-12-24
来源：力创空间公众号（ID：mechanics786），作者：蔺斯诺 李运杰。
横截面为圆形的直杆受扭时的应力，需要综合研究几何、物理和静力等三方面的关系。以下是我们研究的一个思路。
确定横截面上切应力的方法与过程
在轴表面作圆周线和纵向线，在扭转力偶矩作用下，圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个微小角度。变形如图所示。
圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持平面，形状和大小不变，半径仍保持直线，且相邻两截面间的距离不变。
这里需要注意，一定要在线弹性范围内。接下来研究用到了切变模量、切应力互等定理、剪切胡克定律等知识。
1、变形协调方程推导应变、应力分布规律
设到轴线任意远ρ 处的剪应变为γ(ρ)，则有如下几何关系：
式中，dφ/dx 为扭转角沿长度方向变化率。
距圆心为ρ 任一点处的γρ、τρ 与到圆心的距离ρ 成正比。
2、物性关系——剪力胡克定律
至此，我们已经求出了切应力的表达式，但是扭转角沿长度方向的变化率还不知道。这就需要静力学方程来解决了。
微分面积：
dA 上的微内力对圆心的力矩：
对上式进行积分（扭矩定义）：
横截面上的扭矩应与截面一侧的外力偶距相平衡
我们引入一个极惯性矩
式中，Ip 为横截面对形心的极惯性矩（截面二次极矩，单位为m4）。
在圆截面边缘上有最大切应力：
令
抗扭截面系数（单位：m³）
公式适用条件：
圆杆；
τmax≤τp。
其中极惯性矩和抗扭截面系数，在实心轴与非实心轴中的计算是不一样的。
在实心轴的情况下：
其中，D 为圆截面直径。
以上就是完整的求圆轴扭转时的应力的方法和过程了！
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