结构振动的有限元分析基础
来源：节选自《有限元分析及应用》，作者：曾攀 清华大学。
结构的振动分析将涉及到模态分析(modal analysis)、瞬态动力学分析(transient dynamics analysis)、简谐响应分析(harmonic response analysis)、随机谱分析(spectrum analysis) 等方面，其中结构的模态分析（固有频率与振型）将是所有振动分析的基础，下面将就结构的模态分析进行阐述。
结构振动分析的基本方程
描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与静力问题类似，但增加了惯性力项和阻尼力项，且所有的变量都将随时间而变化。
结构振动的三大变量
位移：u(ξ,t)，v(ξ,t)
应变：εx(ξ,t)，εy(ξ,t)，γxy(ξ,t)
应力：σx(ξ,t)，σy(ξ,t)，τ(ξ,t) 是坐标位置ξ(x,y,z) 和时间t 的函数。
结构振动的三大类方程及边界/初始条件
1. 平衡方程（考虑惯性力和阻尼力）
2. 几何方程
3. 物理方程
4. 边界/初始条件BC/IC
位移边界条件BC(u)
力边界条件BC(p)
初始条件IC(initial condition)
结构振动的有限元分析列式
用于动力学问题分析的单元构造与静力问题相同，不同之处是所有基于节点的基本力学变量也都是时间的函数。
单元的节点位移列阵为
单元内的位移插值函数为
其中，N(ξ) 为单元的形状函数矩阵，与相对应的静力问题单元的形状函数矩阵完全相同，ξ 为单元中的几何位置坐标。
基于上面的几何方程和物理方程以及上式，将相关的物理量（应变和应力）表达为节点位移的关系，有
单元有限元方程
将单元的各个矩阵进行组装，可形成系统的整体有限元方程，即
1. 静力学情形 (static case)
由于与时间无关，则
退化为
2. 无阻尼情形 (undamped system)
此时v=0，则方程
退化为
3. 无阻尼自由振动情形 (free vibration of undamped system)
则v=0，Pt=0，方程
退化为
其振动形式叫做自由振动 (free vibration)，该方程解的形式为
这是简谐振动的形式，其中ω 为常数。将其代入
有
上式有非零解的条件是
这就是特征方程(eigen equation)，ω为自然圆频率(natural circular frequency)(rad/sec)，也叫圆频率，对应的频率为f=ω/2π(Hz)。求得自然圆频率ω 后，再将其代入方程
可求出对应的特征向量 (eigen vector)ˆq ，这就是对应于振动频率ω 的振型 (mode)。
常用单元的质量矩阵
结构振动分析将涉及到结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，由
可知，动力学问题中的刚度矩阵与静力问题的刚度矩阵完全相同，而质量矩阵则通过下式来进行计算
对于一种单元，只要得到它的形状函数矩阵，就可以容易地计算出质量矩阵。由阻尼矩阵的计算公式
可知，它的计算与质量矩阵相同，只是有关的系数不同而已。下面给出常见单元的质量矩阵。
杆单元的质量矩阵
1. 一致质量矩阵
对于二节点杆单元，在局部坐标内有节点位移列阵和形状函数矩阵
相应的质量矩阵为
所谓一致质量矩阵 (consistent mass matrix) 是指，推导质量矩阵时与推导刚度矩阵时所使用的形状函数矩阵相“一致”。
2. 集中质量矩阵
将该二节点杆单元的质量直接对半平分，集中到二个节点上，就可以得到集中质量矩阵 (lumped mass matrix)为
可以看出，集中质量矩阵的系数都集中在矩阵的对角线上，也就是说对应于各个自由度的质量系数相互独立，相互之间无耦合；而一致质量矩阵的系数则有相互耦合。
平面三节点三角形单元的质量矩阵
2. 集中质量矩阵